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三角比の相互関係(0°≦θ≦180°)

三角比の相互関係
例題

三角比の相互関係


相互関係の公式はθの範囲を0°≦θ≦180°に拡張しても同じように利用できます。
三角比の相互関係
0°≦θ≦180°のとき,sinθ,cosθ,tanθの間には次のような関係がある。

   

   

   

ただし,(2),(3)に関してはθ=90°の場合を除く



【例題】
θを鋭角とする。次の条件が与えられたとき,他の2つの三角比を求めなさい。

   

   

   



解法のポイント
0°≦θ≦180°の場合,θが鋭角,鈍角のどちらなのかを意識しておく必要があります。

cosθ,tanθの値は鋭角のときと鈍角のときで符号が変わるので,符号を見ることでどちらなのか知ることができます。

sinθの値は0°≦θ≦180°の間で常に0以上なのでそこから鋭角か鈍角かを知ることはできません。sinθの値だけわかっているときは場合分けしてcosθ,tanθの値を求めることになります。



(1) cosθの値が負であることからθは鈍角であることに注意してください。
cosθの値を公式(1)に代入してsinθの値を求めます。

   

   

sinθの値は0°≦θ≦180°の間で常に0以上なので

   

公式(2)にsinθ,cosθの値を代入すると

   

今回はθが鈍角であることを特に意識する必要はありませんでした。tanθを求めるときに公式(3)を使った場合,θが鈍角であることからtanθは負と考えることができます。



(2) tanθの値が負であることからθは鈍角であることがわかります。
tanθの値を公式(3)に代入してcosθの値を求めます。

   

ここから,

   

θが鈍角のとき,cosθ<0なので

   

次に,公式(2)を変形すると

   

となります。この式にcosθ,tanθの値を代入してsinθの値を求めます。

   



(3) sinθの値を公式(1)に代入してcosθの値を求めます。

   

   

0°≦θ≦180°の範囲では sinθの符号はいつも正なのでθが鋭角か鈍角かを決めることはできません。ここからは場合分けして進めていきます。

1.θが鋭角のとき

   

公式(2)にsinθ,cosθの値を代入すると

   

2.θが鈍角のとき

   

公式(2)にsinθ,cosθの値を代入すると

   



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