定積分と面積(曲線とx軸)

定積分と面積の公式(曲線とx軸)
例題

定積分と面積の公式(曲線とx軸)


曲線とx軸の間の面積を求めるとき,次の公式が利用できます。

曲線とx軸で囲まれた面積 1
定積分と面積1-1a≦x≦bでf(x)≧0であるとき,曲線y=f(x)とx軸,x=a,x=bで囲まれる図形の面積Sは

   

と表せる。




この公式は曲線がx軸よりも上にある場合に使われます。x軸の下側にある場合は次の公式を利用してください。

曲線とx軸で囲まれた面積 2

定積分と面積1-2a≦x≦bでg(x)≦0であるとき,曲線y=g(x)とx軸,x=a,x=bで囲まれる図形の面積Sは

   

と表せる。






【例題】
次の曲線とx軸に囲まれた面積を求めなさい。

   

   




(1) 最初にグラフを描きます(重要!)。

定積分と面積1-3-1

曲線とx軸との交点のx座標を求めるにはy=0としてxを求めます。

    より, 

-2≦x≦2で曲線はx軸の上側にあるので公式 1を使います。

   

   

   

   



(2) どこを積分すればいいのか調べるため,グラフを描きましょう。

定積分と面積1-3-2

曲線はx軸の下側にあるので公式 2を使います。

   

   

   

   



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