2次不等式の解き方

・2次不等式
→例題 1
→例題 2

2次不等式


項をすべて左辺に移項したとき,左辺が2次式になる不等式を2次不等式といいます。

例:

   


不等式を満たすxが2次不等式の解です。以下では,グラフを使った解法を説明します。



【例題 1】
次の2次不等式を解きなさい

   




STEP 1 項の位置と係数の符号を考える
最初に,次の事を確認します。

  1. 右辺が0になっているか

  2. x2の係数が正であるか

右辺が0でないときは移項して0にします。また,x2の係数が負の場合は両辺に-1を掛けて正にします。

これらの操作を行わなくても解くことができますが,常に同じような形に統一した方がおぼえることが少なくなります。教科書もこの形にしていることが多いようです。



STEP 2 不等号の部分を等号にしてxについて解く
2次不等式の不等号を等号にしましょう。

   

2次方程式になりました。これを解きましょう。左辺を因数分解して

   

よって,解は

   

となります。これは,グラフを描いた時にグラフとx軸との共有点を知るために使われます。



STEP 3 グラフを描く
y=(左辺)の形に直してグラフを描きます。

   

より,次のグラフが描けます。

2次不等式1-1

2次不等式の解を求めるときはグラフをそれほど詳しく描く必要はありません。必要なのは「グラフがどちらに開いているか」と「x軸との共有点はどこなのか」ということです。

STEP 1のやり方に合わせていればグラフは上に開いている(下に凸)はずです。また,x軸との共有点はSTEP 2で解いた2次方程式の解となります。今回はx=1,3で共有点を持ちます。



STEP 4 解を求める
最後にグラフを使って2次不等式の解を求めましょう。不等式を見ると,(左辺)>(右辺)となっています。また,STEP 3でy=(左辺)としたのでこの不等式は

   

となる部分を聞いていると考えることができます。

2次不等式1-2

上の図から,グラフのy座標が0よりも大きくなるのは,xが1よりも小さい場合と3よりも大きい場合であるとわかります。よって,この2次方程式の解は

   

となります。



【例題 2】
次の2次不等式を解きなさい

   




x2の係数が負なので両辺に-1を掛けます(不等号の向きが変わることに注意)。

   

この不等式の不等号の部分を等号にして解を求めます。

   

   

これより,x=-3,1/2です。これがy=(左辺)のグラフとx軸の共有点となります。

次に,y=(左辺)としてグラフを描きましょう。必要なのは「グラフがどちらに開いているか」と「x軸との共有点のx座標」です。

順番通りにやっていれば,グラフは必ず上に開いている(下に凸)はずです。また,先ほどの方程式の解がx軸との共有点の座標となります。

2次不等式1-3

不等式は(左辺)<(右辺)となっていますが,y=(左辺)としたので

   

となるxが2次不等式の解です。グラフより,この不等式の解は

   

となります。



スポンサーリンク

コメント
コメントの投稿
管理者にだけ表示を許可する
スポンサーリンク
最新記事
検索フォーム
ランキング