弧度法

弧度法の考え方
度数法と弧度法の変換
例題 1
例題 2

弧度法の考え方


弧度法とは円の半径と同じ長さの弧が作る中心角の大きさを1とした角の大きさの表し方の事です。もしくは,(角の大きさ)=(弧の長さ)÷(半径)とした角の大きさの表し方といってもいいでしょう。

半径がrの円の円周は2πrですから,360°の角は弧度法に直すと2πr÷r=2πとなります。



ただ,これだけでは少し難しいと思うので考え方を変えてみます。半径が1の円の中心角と弧の関係を考えましょう。

弧度法1

上の図のように,半径1の円の中心角が30°のとき,それに対応する弧の長さはπ/6です。
半径が1の円で中心角の大きさが決まると,それに対応して弧の長さも決まるので,弧の長さがπ/6となる角といっても角の大きさは伝わります

このように,半径が1の円における(中心)角の大きさを対応する弧の大きさで表す方法を「弧度法」ということにしましょう(元の定義とは変わってしまいましたが置き換える上では問題ありません)。

先に見たように,30°の角は弧度法ではπ/6 ラジアンとなります。ラジアンは弧度法の単位です。

度数法と弧度法の変換


度数法(いままで使ってきた1周を360°で表す方法)で表されている角を弧度法で表してみましょう。また,逆の変換も行ってみましょう。

変換を行うときには次の関係を知っておくと便利です。

   

この関係は半径1の円で円の半周分(180°)の弧の長さがπであることから分かると思います。この関係を基準に変換を行っていきましょう。



【例題 1】
次の角を弧度法で表しなさい。

   



(1) 解き方は色々とありますが,ここでは比例式を作って解いてみます。
度数法で180°の角は弧度法で表すとπです。度数法で60°のときの弧度法の値をxとすると

   

と比例式で表せます。180:π=(度数法):(弧度法)という形になっていることに注意しましょう。分かり易いようにここではこの形に統一しておきます。
これをxについて解きます。

     

       

60°の角は弧度法で表すとπ/3となることが分かりました。



(2) 度数法で210°のときの弧度法の値をxとすると(1)と同様に比例式を作って

   

xについて解きます。

     

       



(3) 度数法で1°のときの弧度法の値をxとします。

   

xについて解きます。

     

       



【例題 2】
次の角を度数法で表しなさい。

   



(1) こちらも比例式を作って解いてみます。
度数法でx°のとき弧度法で(5/4)πなので

   

xについて解きます。

     

      

225°であることが分かりました。



(2) 度数法でx°のとき弧度法で(2/3)πなので

   

xについて解くと

     

      



(3) 度数法でx°のとき弧度法で1なので

   

xについて解くと

     

      

比例式を使うとどちらの変換でも同じように解くことができます(少し計算が面倒かも)。

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