2次関数の最大・最小(定義域に制限あり)

最大・最小の求め方 まとめ
例題 1
例題 2

最大・最小の求め方(定義域に制限あり)


定義域に制限があるときには,その範囲内でy座標の最も大きい所を最大値,最も小さい所を最小値とします。簡単な例を用いて問題の解き方を説明します。

【例題 1】
次の2次関数の最大値,最小値を求めなさい。

    




最初に関数を平方完成し,グラフを描きましょう。

   

     

     

     

    



平方完成をしたら,グラフを描きます。定義域の内部は実線で,外部は点線で書くと分かり易いでしょう。

定義域の内部を適当な色で塗り分けると更に分かり易くなります。ただし,最大・最小を知る上でこれらは必ずしも行う必要はありません。

グラフを描くうえで必ずやってほしいのは

 1.軸が定義域の中なのか外なのか(中にある場合は定義域の中心より右か左か)
 2.頂点の座標
 3.定義域の両端の座標

をはっきりさせることです。これらが必要な理由は,

 1.軸の位置でどこが最大・最小なのか変わる
 2.グラフの頂点と定義域の両端が最大・最小の候補である

ためです。1~3に注意してグラフを描いてみましょう。

最大・最小制限あり1

青い領域が0≦x≦3の範囲内です。この中でy座標が最も大きい所を最大値,最も小さい所を最小値とします。

図より,x=0のとき最大で,最大値は関数にx=0を代入して3となります。定義域の両端のうち,軸から遠い方が最大値になっています。これは2次関数が軸に関して対称であり,下に凸のグラフでは軸から遠い方がyの値がより大きくなるからです。

また,最小はx=2のときで最小値は-1です。



2次関数の最大・最小の求め方(定義域に制限あり)

 (1) 2次関数を平方完成する。

 (2) 関数のグラフを描く(軸の位置に注意)。頂点と定義域の両端のy座標は必ず調べる。

 (3) y座標が最も大きい所を最大値,最も小さい所を最小値とする。

基本は上のように進めます。(3)に関しては両端が定義域に含まれているか注意しましょう。
例えば,上の関数で定義域が0<x≦3のとき,x=0は定義域に含まれていないので,最大値はありません。

もっと簡単なグラフの描き方はこちら



【例題 2】
次の問題を解きなさい。

    

    




(1) 最初に平方完成を行いましょう。

   

    

    

    

    

グラフを描きます。

最大・最小(制限あり)2

グラフより,

   x=-1のとき最大で,最大値 7
   x=1のとき最小で,最小値 -1



(2) 平方完成から始めます。

   

    

    

    

    

グラフを描きましょう。

最大・最小(制限あり)3

グラフより,

   x=7のとき最大で,最大値 25/2
   x=3のとき最小で,最小値 1/2

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コメント
No title
v-108
2017/02/08(水) 21:17 | URL | #-[ 編集]
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