微分係数とグラフの接線

・微分係数と接線 例題1



微分係数と接線
関数y=f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)は,y=f(x)のグラフ上の点(a, f(a))を通る接線の傾きに等しい.

考え方
関数y=f(x)のx=aにおける微分係数

   

がグラフ上でどういった意味を持つのかを考えます.
まず,limの右側ですが,これはxがaからa+hまで変化するときの平均変化率です.

   

平均変化率と微分係数で説明したように,この式はグラフ上の2点を結ぶ直線の傾きを意味しています(下図).

微分係数と接線1

微分係数はこの式のhを0に限りなく近づけるので,点Bが曲線上を動きながら点Aに向かって限りなく近づいたときの2点を結ぶ直線の傾きとなります.

微分係数と接線2

2点を通る直線は点Aを通る接線に限りなく近くなるので,x=aにおける微分係数は,点(a, f(a))を通るグラフの接線の傾きを表すことになります.




【例題 1】
次の問題を解きなさい。

  (1) y=3x2上の点(2, 12)における接線の傾きを求めなさい.

  (2) y=x2-2x上の点(-1, 3)における接線の傾きを求めなさい.




(1) 点(2, 12)における接線の傾きなので微分係数f'(2)を求めます.

   

   

   

   

よって,接線の傾きは12



(2) (1)のように微分係数の定義から求めてもいいですが,「導関数を求める→接点のx座標を代入する」として微分係数を出した方が簡単です.導関数は

   

x=-1を代入して微分係数を求めます.

   

よって,接線の傾きは-4



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