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円の方程式

・円の方程式(基本)
・円の方程式(x2+y2+lx+my+n=0)
例題1(円の方程式を求める) 
例題2(方程式から図形を求める) 



円の方程式
点(a, b)を中心,半径をrとする円の方程式は

   

また,原点を中心,半径をrとする円の方程式は

   

と表せる。

考え方
円を表す方程式について考えます。

円の方程式

図のように,円は中心点と円周上の点の間の距離がどこも同じです。中心点C(a, b)と円周上の点P(x, y)との距離CPは2点間の距離の式から

   

です。CPは円の半径なので,半径の長さをrとすると

   

と表すことができます。あとは両辺を2乗して

   

となり,これが円の方程式です。また,中心を原点に選ぶと,a=0,b=0なので

   

と表せます。




【例題 1】
次の条件を満たす円の方程式を求めなさい。

   (1) 中心(2, -3),半径5の円

   (2) 中心が(-2, 5)で(4, -3)を通る円




(1) 中心(2, -3),半径5なので,a=2,b=-3,r=5を円の方程式に代入します。

   

これを整理して

   

円の方程式2



(2) 半径rは中心(-2, 5)と円周上の点(4, -3)との間の距離なので,2点間の距離の式より

   

中心(-2, 5),半径10なので,a=-2,b=5,r=10を円の方程式に代入します。

   

これを整理して

   

円の方程式3

円の方程式(x2+y2+lx+my+n=0)


上で説明した円の方程式を展開して整理すると

   

   

となります。このように円の方程式は

   

の形に表すこともできます。

この形の方が便利なこともあるのですが,円の中心や半径を知りたい場合はやはり最初の形の方が使いやすいので平方完成を利用して変形を行います



【例題 2】
次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めなさい。

   

   

   




(1) 公式の右辺は半径の2乗であることに注意します。

  方程式より,中心(3,-1),半径 の円



(2) 平方完成を行い(1)と同様の形に直して考えます。
最初に,文字xに着目します。

   

xの係数を半分にして2乗したものをxの項のすぐ後と右辺に足しましょう。

   

( )2の形にします。

   

次にyに着目し,同じように( )2の形にして整理します。

   

   

これを整理すると

   

よって,中心(-1, 2),半径2の円



(3) 平方完成して( )2の形にします。ただし,1次の項が無い文字はそのままにしておきます。

   

   

   

   

よって,中心(-4, 0),半径 の円



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コメント
承認待ちコメント
このコメントは管理者の承認待ちです
2017/07/23(日) 23:20 | | #[ 編集]
Re: タイトルなし
> 最後の(3)はなぜ( )内のxに2乗が付いているのですか?

すみません誤植ですので訂正しておきます。
ご指摘ありがとうございました。
2017/07/26(水) 14:41 | URL | 管理人 #-[ 編集]
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