平均変化率と微分係数

平均変化率 まとめ
例題
微分係数 まとめ
例題

平均変化率


関数y=f(x)において、xの値がaからbに変化したとき、yの値はf(a)からf(b)に変化します。このとき、

   xの変化量はb-a   yの変化量はf(b)-f(a)

です(変化量=変化後-変化前)。



(yの変化量)/(xの変化量)をxがaからbまで変化したときの平均変化率といいます。

   

(注)平均変化率は中学で習った変化の割合と同じ考え方です。



関数y=f(x)のグラフを考えると平均変化率はグラフ上の2点(a, f(a))と(b, f(b))を結ぶ直線の傾きになります。

平均変化率

b=a+hとすれば平均変化率の式は次のようにも表せます。

   

これはxがaからa+hまで変化したときの平均変化率です。こちらの方が後々使いやすいかもしれません。

平均変化率
関数y=f(x)において、xがaからbまで変化したときの平均変化率

   

xがaからa+hまで変化したときの平均変化率

   



【例題】
f(x)=x2とします。xが次のように変化したときの平均変化率を求めなさい。

   (1) xが2から4まで変化したとき

   (2) xが3から7まで変化したとき




(1) 平均変化率の式にa=2, b=4を代入します。

   



(2) 平均変化率の式にa=3 b=7を代入します。

   

微分係数


平均変化率の2番目の式

   

はxがaからhだけ離れたa+hまで変化するときの平均変化率です。いま、a+hをaに限りなく近づける(hを0に近づける)と

   

と書くことができます(limの部分はhを0に限りなく近づけることを意味しています)。このときの値をx=aにおける微分係数といいf'(a)と表します。

微分係数
関数y=f(x)のx=aにおける微分係数

   

微分係数が何を意味しているのかは別のページで説明します。



(注)平均変化率の1番目の式を利用して微分係数の式を作ることもできます。この場合は、bをaに限りなく近づけるので、

   

という形になります。



【例題】

   (1) f(x)=x2とします。x=1における微分係数を求めなさい。

   (2) f(x)=x2-3xとします。x=2における微分係数を求めなさい。




(1) x=1における微分係数なので微分係数の式のaに1を代入します。

   

       

       

       

       

       

極限値はlimの右側を整理してから求めます。式の変形でf(1+h)が(1+h)2になる所が分からない人は関数の値を参照してください。



(2) x=2における微分係数なので微分係数の式のaに2を代入します。

   

       

       

       

       

       


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