2次関数の最大・最小(定義域に制限なし)

・2次関数の最大・最小
→例題

2次関数の最大・最小


2次関数の最大・最小を求めるときは,グラフをきちんと描くことが大切です。

関数の最大・最小をグラフで考えると,グラフ上で最も大きいy座標の値最大値といいます。また、最も小さいy座標の値最小値といいます。

定義域に制限が無い場合、2次関数 y=ax2+bx+c は頂点で最大値または最小値を持ちます。最大値・最小値のどちらを持つかは放物線が上に凸か下に凸かで決まります。

・a>0(放物線が下に凸)の例

最大・最小1グラフ上でy座標が最も小さくなる所は頂点です。頂点のy座標の値は-2なので最小値は-2です。

また、このグラフのy座標の値はいくらでも大きくなることができるので最大値はありません。

  最大値 なし
  x=2のとき、最小値 -2


a>0(放物線が下に凸)の場合、最大値は存在せず、頂点で最小になります。


・a<0(放物線が上に凸)の例

最大・最小2グラフ上でy座標が最も大きくなるのは頂点です。頂点のy座標の値は3なので最大値は3です。

また、このグラフのy座標の値は軸から離れるといくらでも小さくなることができるので最小値はありません。

  x=-2のとき、最大値 3
  最小値 なし


a<0(放物線が上に凸)の場合、最小値は存在せず、頂点で最大になります。



【例題】
次の2次関数の最大値・最小値を求めなさい。

   

   




(1) 頂点の位置が重要なので平方完成を行います。

   

グラフを描いて最大値・最小値を見つけましょう。

最大・最小3

     x=-2のとき、最小値 2
     最大値はない


慣れるまではグラフをしっかりと描きましょう。

(注1)最大値・最小値があるときはxがどの値で最大(最小)になったのか書いておく必要があります。
(注2)最大値・最小値がないときは最大値(または最小値)はないと書きます。



(2) 平方完成をして頂点の位置を調べます。

   

グラフを描いて最大値・最小値を見つけます。

最大・最小4
     x=2のとき、最大値4
     最小値はない





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