3次関数が極値を持つ(持たない)条件

・極値を持つ(持たない)条件
・例題1
・例題2



3次関数が極値を持つ(持たない)条件
3次関数f(x)が
 極値を持つ→f'(x)=0としたときの判別式D>0
 極値を持たない→f'(x)=0としたときの判別式D≦0

考え方
まず,3次関数f(x)が極値を持つときどのようなことが言えるのか図から考えてみます。

極値1-1

極大値,極小値を持つ点の左右では接線の傾きの符号が変わっています。接線の傾きは微分係数の値で表すことができるので,接線の傾きの符号が変わるということはf'(x)の符号が変わっているということになります。

今は3次関数について考えているので,その導関数f'(x)は2次関数です。2次関数の符号が変わるためには、2次関数のグラフがx軸と異なる2点で交わらなければなりません(下図)。

極値6-1
2次関数f'(x)のグラフとx軸との共有点の個数は2次方程式f'(x)=0の実数解の個数と同じで,f'(x)=0が実数解を2つ持つとき判別式Dは正です。以上より,3次関数f(x)が極値を持つにはf'(x)=0の判別式Dが正である必要があります。



極値を持たない条件も同じように考えます。下図は極値を持たない3次関数の例です。

極値3-1a  極値2-1

極値を持たない3次関数は接線の傾きの符号が変わりません(0になるのはOK)。接線の傾きは微分係数の値で表すことができるので,f'(x)の符号が変わらないということになります。

3次関数f(x)について考えているので導関数f'(x)は2次関数ですが、2次関数の符号が変わらないのはx軸との共有点の個数が0個と1個の場合です(下図)。

極値4-1  極値5-1
共有点の個数が0個のときはf'(x)=0の判別式Dが負,1個のときは0なので、極値を持たないためにはf'(x)=0の判別式Dが負である必要があります。




【例題 1】
次の関数が極値を持つか調べなさい。

   

   




(1) 最初に導関数を作ります。

   

の判別式をDとすると

   

D>0なのでこの関数は極値を持ちます。



(2) 導関数は

   

の判別式をDとすると

   

D≦0なのでこの関数は極値を持ちません。




【例題 2】
次の関数が極値を持たないような定数mの範囲を求めなさい。

   




導関数は

   

f(x)が極値を持たないためにはf'(x)=0の判別式Dが0以下である必要があります。

   

よって,

   



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