等差数列の和

等差数列の和 公式
例題

等差数列の和


等差数列の和を求めます。初項a、末項lとすると、この数列の和は、

   

これは初項から末項まで順番に加えたものです。
次に加える順番を逆にしたものを作ります。

   

[1]と[2]を足し合わせ整理すると

   等差数列の和

     

     

と等差数列の和を初項、末項、項数で表すことができます。
また、末項を第n項とすると等差数列の一般項の公式より l=a+(n-1)d と表すことができます。
これを[3]に代入すると

   

   

となり、等差数列の和を初項、公差、項数で表すこともできます。

等差数列の和の公式
初項a、公差d、末項l、項数nとすると、等差数列の和Sn

     
    (↑初項、末項、項数で表される形

または

    
    (↑初項、公差、項数で表される形

と表すことができる。



【例題】
次の数列の和を求めなさい。

   (1) 初項2、公差3、項数10の等差数列

   (2) 8, 12, 16, …, 92




(1) 初項、公差、項数が分かっているので

    

を使います。初項2、公差3、項数10を公式に代入して

    



(2)初項、末項、公差は問題文から読み取れますが項数が分かりません。
このような場合には一般項の公式を利用して項数nを求めましょう

末項を第n項として、一般項の公式に初項8、公差4、末項92を代入します。

   

これをnについて解いて、

   

項数が22であることが分かりました。あとは和の公式に代入するだけです。今回は4つ全てわかっているのでどちらの公式を使っても求めることができます。

     



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