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循環小数を分数で表す

循環小数とは
例題1(くどい)
例題2(あっさり)

循環小数とは


ある桁から先が同じ数字で繰り返されるような小数を循環小数といいます。
例えば、

   

は小数第2位から123という数字が繰り返されているので循環小数です。

循環少数には循環している部分の最初と最後の数字の上に点(・)をつけて表す方法があります。上の循環小数ならば

   

と表すことができます。

また、循環小数は有理数であり分数で表すことができます

ここでは循環小数を分数で表す方法について説明します。



【例題1】
次の循環小数を分数で表しなさい。

   




STEP 1  (適当な文字)=(循環小数)という形にする
(適当な文字)=(循環小数)という形にします。

   

今回はxにしました(特別な意味を持つ文字でなければ何でも大丈夫です。xやAなどが無難でしょう)。
また、このとき

   

というようにドット(・)を付けないで表すと後で計算し易くなると思います。



STEP 2  n桁で循環→10nを両辺に掛ける
循環している部分の桁数が

1桁→両辺を10倍
2桁→両辺を100倍
3桁→両辺を1000倍


以降、桁が増える毎に、掛ける数に0を1つ増やします。

今回は循環している部分が2桁なので100倍しました

   




STEP 3  (STEP 2で作った式)-(元の式)
STEP 2で作った式(100x = 12.121212……)から元の式(x = 0.121212……)を引きます。

循環小数1



STEP 4  xについて解く
STEP 3で出した式をxについて解き、約分ができる場合は約分をして終了です。

   

以上より、0.121212……という循環小数は分数で表すと4/33であることがわかりました。



【例題2】
次の循環小数を分数で表しなさい。

   




最初に、

   

とします。また、ドットを外して

   

としておくと後で計算し易いでしょう(ここは好みで)。
循環している部分が1桁なので両辺を10倍します。

   

10倍した式から元の式を引きます。10x-xより、

   

小数が残ってしまいました。このような場合には、両辺を更に10倍して小数を消します

   

xについて解き、約分ができれば約分しておしまいです。

   


(注)教科書の方針では、100x-10xをして小数を残さないようにしていることが多いと思います。上のやり方でも結果は同じになるので好きな方で計算してください。




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