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三角関数の合成

三角関数の合成 
三角関数の合成(考え方) まとめ
例題

三角関数の合成


加法定理を利用して

   

という形から

   

の形へ変形することを三角関数の合成といいます。

三角関数の合成(考え方)


簡単な例を用いて三角関数の合成の考え方を説明します(少し難しいので解き方だけ知りたい方は例題へ)。

の形に変形してみましょう。まず、sinθの係数(1)をx座標、cosθの係数(√3)をy座標とする点をとります。

三角関数の合成1

OPの長さは三平方の定理より、

   

です。また、1:√3:2の直角三角形なのでx軸の正の部分とOPとのなす角は60°です。これより、

   

両辺にOPの長さ(2)を掛けると

   

これを に代入します。

   

              

                   OPの長さで括る

                   加法定理を適用

変形できました。

三角関数の合成

   

   ただし、 
       


実際に変形するときは上の公式の形を覚えてrとαについてだけ考えた方が早いです。



【例題】

    の形に変形しなさい。





の形を覚えてrとαについてだけ考えると簡単に解くことができます。

解き方
sinθの係数をx座標、cosθの係数をy座標とする点と原点を直線で結びます。

三角関数の合成1

線分OPの長さをrとします。これは三平方の定理で解きましょう。

   

αは上の図より、

   

を満たす角なのでα=120°です。
求めたrとαを合成の公式に代入して終わりです。

   



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