平方完成

平方完成とは
例題 1(くどい)
例題 2(あっさり)



平方完成とは


2次式を(x-p)2という項が入る形に変形することを平方完成といいます。2次関数では,

   

の形から

   

の形へと変形することでグラフの軸や頂点の位置を知ることができるため平方完成がよく行われます。



【例題 1】

   

を平方完成しなさい。



STEP 1  xの入っている項をカッコでくくる
文字の入っている項をカッコでくくります。

   

ここは慣れたら飛ばしても構いませんがやっておくと見通しが良くなります。



STEP 2  x2の係数でカッコ内の項をくくり,係数をカッコの外に出す
x2の係数でカッコ内の項をくくります。

   



STEP 3  xの係数を半分にしてから2乗したものを加え,同じものをすぐ後に引く
xの係数を半分にしてから2乗します。

   xの係数は-2 → 半分にする(-1) → 二乗する(1)

これをxのすぐ右に足したもの引いたものを付けます。

   



STEP 4  上で加えた2つの項のうち,マイナスの方をカッコの外に出します
STEP 3でプラスマイナスのものをxのすぐ後ろに加えましたが,このうちマイナスの方をカッコの外に出してやります。

   

(注) 外に出すときはカッコの前についている数字を掛けてから出します。今回カッコの前には2がついているので-1×2=-2を外に出すことになります。カッコの前に何もついていない場合はそのまま外に出してください。




STEP 5  カッコ内を因数分解する
カッコの中を因数分解します。(x+a)2または(x-a)2という形になるはずです。

   

ついでにカッコの外の数も計算してしまいましょう。これで平方完成は終了です。



【例題2】

   

を平方完成しなさい



文字の入っている項をカッコでくくります(これは慣れたら飛ばしてもOK)。

   

x2の係数(-3)でカッコ内の項をくくります。

   

xの係数(-3)を半分(-3/2)にしてから2乗した数(9/4)をxの後に加え,すぐ後に同じものを引きます。

   

先程加えた2つの数のうち,マイナスの方をカッコの外に出します
このとき,カッコの前についている数字を掛けることを忘れないようにしましょう。

   

カッコの部分を因数分解し,外にある数をまとめて終了です。

   



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