隣接2項間漸化式-パターン1

・an+1=pan+q(例題1)

an+1=pan+q型の漸化式


2項間漸化式a1-1

上の数列を初項から順番に書き出してみましょう

2項間漸化式a1-2

等差数列でも等比数列でもありません(階差数列に規則性がありますが今回は利用しないでおきます).しかし,各項に3を加えると

2項間漸化式a1-3

となり,これは初項4,公比2の等比数列です.

このように,an+1 = pan + qの形の漸化式を持つ数列は各項からある定数を引くと等比数列になります.一般項を求める際にはこの性質を利用します.



【例題 1】
次の条件によって定められる数列の一般項を求めなさい.

2項間漸化式a1-q1




STEP 1
この形の数列は漸化式の両辺からある定数を引くと等比数列になります.最初にこの定数の作り方を説明します.

漸化式のanan+1を適当な文字(取り敢えずcにしておきます)に置き換えます.

2項間漸化式a1-q1a1

この式をcについて解きます(c=-3).

次に,漸化式の両辺から先ほど作った定数(-3)を引き,右辺はanの係数で括ります

2項間漸化式a1-q1a2



STEP 2
カッコの部分をbnにおきかえます.つまり,bn=an+3とおいてbnの式にします.nの部分をn+1に変えてbn+1=an+1+3となることにも注意してください.

2項間漸化式a1-q1a3

おきかえた数列{bn}は等比数列です.この数列の一般項を求めましょう.

(注) 等比数列の一般項を求めるには初項公比を知る必要があります.
bn+1=2bnから公比は2です.また,初項はbn=an+3のnに1を代入してb1=a1+3=4

数列{bn}は初項4,公比2の等比数列です.よって,等比数列の一般項の公式より

2項間漸化式a1-q1a4



STEP 3
bnをan+3 に戻して元の数列の一般項を求めましょう.

2項間漸化式a1-q1a5

一般項を求めることができました.



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