階差数列

・階差数列とは
・階差数列と一般項例題

階差数列とは


数列{an}の隣り合う2つの項の差をとって作られる数列を数列{an}の階差数列といいます.

階差数列1-1

上の数列は等差数列でも等比数列でもありませんが,階差数列は等差数列になっています.



数列の和と一般項
数列{an}の階差数列を{bn}とする.このとき

階差数列2


考え方
数列の一般項を階差数列を利用して表してみます.

階差数列2-1

数列の各項と階差数列の各項の関係は上のようになっています.ここから

 (数列の第n項)=(数列の初項)+(階差数列の初項~第n-1項までの和)

であることがわかります.

このように,数列の一般項は初項と階差数列の各項を使って表すことができるので,元の数列に規則性が見つからなくても階差数列に等差,等比などの規則性があれば一般項を求めることができます.

この式を使って一般項を出すときは,n = 1の場合とn≧2の場合で分けて答えを出す必要があります(ただし,式にn = 1を入れたときの値とa1が一致する場合はまとめてもかまいません).



【例題 1】
次の数列の一般項を求めなさい.

階差数列q1




この数列は等差数列でも等比数列でもありません.階差数列を作ってみましょう.

階差数列q1a1

階差数列は初項 2,公差 2の等差数列になっています.よって,階差数列{bn}の一般項は

階差数列q1a2

となります.階差数列と一般項の関係式より,n≧2のとき

階差数列q1a3

(注)Σ計算の公式を使っていますが,ここではΣの上部分がnではなくn-1になっていることに注意してください.公式を当てはめるときにnの部分をn-1にする必要があります.


また,n=1のとき,①は

階差数列q1a4

となりa1と一致します.一致したときは場合分けする必要はありません.よって,数列の一般項は

階差数列q1a5



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