1次不定方程式の整数解(すべて)

・ax+by=1の整数解(すべて)例題1
・ax+by=cの整数解(すべて)例題2



【例題 1】
次の方程式の整数解をすべて求めなさい.

互除法を利用q1




STEP 1
問題の1次不定方程式

1次不定方程式q1a1

の整数解を1つ見つけます.すぐ見つからなければ互除法を利用して求めましょう(互除法を利用して整数解を求める).

x=2,y=-9は[1]の整数解の1つです.



STEP 2
[1]にSTEP 1 で見つけた解(x=2,y=-9)を代入します.

1次不定方程式q1a2

[1]から[2]を引きます.

1次不定方程式q1a3

yが入っている項を移項して

1次不定方程式q1a4



STEP 3
(STEP 3がよくわからない場合はここを飛ばしてを確認してください)
23と5は互いに素なので,x-2は-5の倍数です.つまり,kを整数として x-2=-5k と表すことができます.また,この式を[3]に代入してyについて解くと y+9=23k となります.したがって

1次不定方程式q1a5

これが1次不定方程式の解です.

STEP 3は少し難しいので,わからない人は下のように機械的に形を作りましょう.


1次不定方程式q1a6

(1),(2),(3),(4)の位置を覚えていれば数字が変わっても同じように作ることができます.



【例題 2】
次の方程式の整数解を1つ求めなさい.

   




STEP 1
c=1の場合の整数解を1つ求めます.

   

整数解を方程式に代入しましょう.

   
   ↑求めた整数解をx,yに代入

両辺をc倍(今回はc=7なので7倍)します.

   
   ↑両辺を7倍

STEP 2
あとは先ほどと同じ手順で解きます.問題の1次不定方程式23x+5y=7から[2]を引きます.

      

   

23と5は互いに素なので,x-14は5の倍数です.よって,kを整数として

   

と表すことができます.また,[3]に[4]を代入して

   

[4],[5]をそれぞれx,yについて解くことで

     (kは整数)

となります.



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