(x+a)(y+b)=(整数)

・xy=(整数)
・(x+a)(y+b)=(整数)
・xy+ax+by+c=0



【例題 1】
次の等式を満たす整数x,yの組をすべて求めなさい.

xy=(整数)q1r1




(1) 掛けて5になる2つの整数を考えます.

xy=(整数)q1a1-1

上の表より,(x,y)=(-5,-1),(-1,-5),(1,5),(5,1)



(2) 掛けて4になる2つの整数を考えます.

xy=(整数)q1a1-2

よって,(x,y)=(-4,-1),(-2,-2),(-1,-4),(1,4),(2,2),(4,1)



【例題 2】
次の等式を満たす整数x,yの組をすべて求めなさい.

xy=(整数)q2r1




(1) まず,掛けて5になる(x-2)と(y+3)の組を見つけます.

(x-a)(y-b)=(整数)q2a1-1

求めたいのはxとyなのでx-2の各マスに2を加え,y+3の各マスから3を引きます.

(x-a)(y-b)=(整数)q2a1-2

よって,(x,y)=(-3,-4),(1,-8),(3,2),(7,-2)



(2) (1)と同様に掛けて-3になる(x+1)と(y-4)の組を考え,それらをx,yに直します.

(x-a)(y-b)=(整数)q2a2-1

よって,(x,y)=(-4,5),(-2,7),(0,1),(2,3)



【例題 3】
次の等式を満たす整数x,yの組をすべて求めなさい.

xy_ax_by_c=0 q1r1




例題2のように(x+a)(y+b)=(整数)の形にすることがポイントです.まず,xの係数とyの係数を掛けて「両辺」に置きます.

xy_ax_by_c=0 q1a1r1

xの入っている項をxで,yの入っている項と先ほど作った積をyの係数でくくります.

xy_ax_by_c=0 q1a2r1

(y+3)が2つできました.(y+3)が入っている2つの項を(y+3)でくくります.

xy_ax_by_c=0 q1a4

あとは-11を移項して整理すれば例題2と同じ形になります.

xy_ax_by_c=0 q1a5

これ以降の方針は例題2と同じです.掛けて5になる(x-2)と(y+3)の組を見つけ,それらをx,yにします.

xy_ax_by_c=0 q1a6

よって,(x,y)=(-3,-4),(1,-8),(3,2),(7,-2)



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