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整数の割り算における商と余り

・整数の割り算 例題1例題2



整数の割り算
整数aと正の整数bにおいて

整数の割り算1-1

となるq,rはただ1通りに定まる.qをaをbで割ったときの,rをaをbで割ったときの余りという.

考え方
上の説明ではわかりづらいですが,とりあえず基本的な問題を解くために覚える必要があるのは次の2つです.

1. aをbで割ったときの商qと余りrを使って等式a=bq+rの形が作れる

2. a=bq+r (0≦r<b)が成り立っているとき,aをbで割ったときの商がq,余りがrとなる

(割られる数)=(割る数)×(商)+(余り)となることを簡単な例で説明してみます.たとえば,26を7で割ったときの商は3,余りは5ですが,元の整数から余りを引いたものである(26-5)は7で割り切れ商は3です.

一般に,ある整数aを正の整数bで割ったときの商をq,余りをrとすると,a-rはbで割りきることができ商はqになります.よって,

整数の割り算1-2

この式の両辺にbを掛け,rを移項すると a=bq+r の形になります.



【例題 1】
a,bが次の値のとき,aをbで割ったときの商qと余りrを求め,a=bq+r の形にしなさい.

  (1)  a=21,b=4

  (2)  a=43,b=9

  (3)  a=-17,b=6




(1) aが正の整数の場合は小学校で習ったように筆算で商と余りを求めればよいですし,他の方法で計算してもOKです.

計算により,商5,余り1.よって,

整数の割り算q1a1



(2) 商は4,余りは7

整数の割り算q1a2



(3) aが負の整数である問題は初学者が特に躓きやすい所です.このようなときは次のようにするとうまくいくかもしれません.

まず,bに-1,-2,-3,-4,…と順番に掛けていき,最初にa以下になったときの掛けた数が商になります.

整数の割り算q1a3-1

よって,商は-3です.a=-17,b=6,q=-3なので

整数の割り算q1a3-2

となり,この式からr=1(余り)であるとわかります.以上より

整数の割り算q1a3-3

rは0以上でbより小さくならなければいけません.必ず確認しましょう.



【例題 2】
aを5で割ると2余る整数,bを5で割ると4余る整数とする.次の数を5で割ったときの余りを求めなさい.

  (1)  a+b

  (2)  ab




(1) aは5で割ると2余る整数,bは5で割ると4余る整数なのでそれぞれ

整数の割り算q2a1-1

と表すことができます(k,lは整数).

整数の割り算q2a1-2

よって,a+bを5で割ったときの余りは 1 です.5k+5l+6の所で計算を止めて余り6としてはいけません.余りは割る数よりも小さい0以上の数なので,割る数よりも大きいときは上のように割る数の倍数と割る数よりも小さい正の整数に分けてやります.



(2) (1)と同様の方針で進めます.

整数の割り算q2a1-3

よって,abを5で割ったときの余りは 3 です.



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