方べきの定理

・方べきの定理 1 例題1
・方べきの定理 2 例題2



方べきの定理 1
円の2つの弦AB,CDの交点もしくはそれらの延長の交点をPとする.このとき

方べきの定理1-1

が成り立つ.
方べきの定理1-2


考え方
この定理を習ったばかりの高校生は,PA・PB=PC・PDとする所をPA・AB=PC・CDとしてしまうことが多いです.どの線分に着目するのかしっかり確認しましょう.

方べきの定理1-3


この式が成り立つ理由も簡単に示しておきます.
方べきの定理1-4
上図左は円周角の定理から,右は円に内接する四角形の性質から∠CAP=∠BDP,∠ACP=∠DBP.2組の角がそれぞれ等しいので△PAC∽△PDBとなります.よって,PA:PD=PC:PBが成り立つので,PA・PB=PC・PDです.



【例題 1】
次の図において,xの値を求めなさい.

方べきの定理q1-1




(1) 方べきの定理より

方べきの定理q1a1

PA=2,PB=6,PC=x,PD=3だから

方べきの定理q1a2

これを解いて x=4



(2) PA=x,PB=x+9,PC=4,PD=9だから,方べきの定理より

方べきの定理q1-2a1

これを整理して

方べきの定理q1-2a2

2次方程式になりました.左辺を因数分解すると

方べきの定理q1-2a3

x>0なので x=3



方べきの定理 2
円の外部の点Pから接線を引き接点をTとする.また,Pを通り円と2点A,Bで交わる直線を引く.このとき,

方べきの定理2-1a

が成り立つ.
方べきの定理2-2a

考え方
こちらもPA・AB=PT2としてしまうミスに気を付けましょう.
方べきの定理2-3
△APTと△TPBにおいて

円の接線と弦の作る角の定理より,∠PTA=∠PBT
∠Pは共通

2組の角がそれぞれ等しいので△APT∽△TPB.よって,PA:PT=PT:PBが成り立つので,PA・PB=PT2



【例題 2】
次の図において,xの値を求めなさい.ただし,PTは円の接線,Tは接点とする.

方べきの定理q2-1


PA=3,PB=x+3,PT=6だから,方べきの定理より

方べきの定理q2-1a1

これを解いて x=9



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