条件付き確率

・条件付き確率 例題1例題2



条件付き確率
2つの事象A,Bについて,事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率をAが起こったときのBの条件付き確率であるといい,PA(B)で表す.

条件付き確率1-1

ただし,n(A)≠0とする.

また,上の式の分母と分子をn(U)で割ることにより

条件付き確率1-2


考え方
まず,確率の基本的な考え方をおさらいします.

どの根元事象も同様に確からしいとき,事象Bの起こる確率P(B)は

条件付き確率2-1

です.ここで事象Aが起こったという条件が加わると確率の式がどうなるか簡単な例を使って見ていきます.

条件付き確率2-2


箱の中に1から5までの数字が書かれた四角いカードと2から6までの数字が書かれた丸いカードが入っており,この中から1枚カードを引くことを考えます.

カードを引くときに触った感じから四角いカードである(事象Aとする)ことがわかったとして,そのカードが偶数である(事象Bとする)確率を考えてみましょう.

四角いカードであるということがわかっているので,引いたときに出てくるのは四角いカード5枚(事象Aに属するもの)のうちのどれかです.よって,起こりうるすべての場合の数はn(A)=5となります.

また,偶数のカードは四角いカードと丸いカード合わせて5枚ありますが,いま触っているカードは四角であることがわかっているので偶数の中でも引く可能性があるのは四角で偶数(A∩Bに属するもの)のカードだけです.よって,分子はn(A∩B)=2.


上の例のように,条件付き確率PA(B)では,事象Aが起こったことを前提にしているため起こり得るのは事象Aに属するものだけです.事象Bの場合の数を数えるときも事象Aにも属するものだけをカウントします.




【例題 1】
1から4の数字が書かれた4個の赤玉と1から5の数字が書かれた5個の白玉が入った袋がある.この中から1個を取り出して白玉だったとき,書かれた数字が奇数である確率を求めなさい.



取り出した玉が白玉であるという事象をA
取り出した玉に書かれた奇数であるという事象をB

とするとPA(B)を求めればいいことになります.また,A∩Bは取り出した玉が白玉の奇数である事象です.

n(A)=5,n(A∩B)=3より

条件付き確率q1a1




【例題 2】
4個の赤玉と5個の白玉が入った袋から取り出した玉は袋に戻さずに2回取り出す.1回目に取り出した玉が赤玉であったとき2回目に取り出す玉が白玉である確率を求めなさい.



教科書によく出てくる例題ですが,条件付き確率の定義式を使うとかえって面倒です.

1回目に取り出した玉が赤玉であるという事象をA
2回目に取り出した玉が白玉であるという事象をB

としてPA(B)を考えましょう.

1回目に赤玉を取り出したとき袋に残っているのは赤玉3個,白玉5個です.よって,2回目に取り出す可能性があるのはこれら8個のうちのどれかとなります.また,残っている白玉の数は5個なので

条件付き確率q2e1




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