順列

・順列と階乗 例題1例題2



順列と階乗
いくつかのものを順番に並べるとき,並び方の1つ1つを順列という.

異なるn個のものの中から異なるr個を取り出して並べる順列をn個からr個を取る順列といい,その総数を nPr で表す.

  

また,1からnまでの自然数の積をnの階乗といい,n!で表す.nPn=n!が成り立つ.

考え方
A,B,C,Dの4文字から3個を並べて文字列を作る場合を考えてみます.

順列1-1

左から順に考えると,

 1番目:A,B,C,Dのどれでもよいので4通り
 2番目:1番目に入れた文字は使えないので残りの3通り
 3番目:1番目,2番目に入れた文字は使えないので残りの2通り

積の法則から文字列の個数は4×3×2=24(個)です.



n個からr個を取り出し並べる場合も上と同様に考えます.

 1番目:n個のどれでもよいのでn通り
 2番目:1番目に入れたものは使えないので残りの(n-1)通り
 3番目:1番目,2番目に入れたものは使えないので残りの(n-2)通り
       ・
       ・
       ・
 r番目:1番目~r-1番目に入れたものは使えないので残りのn-(r-1)=(n-r+1)通り
        
よって順列の総数nPrはn(n-1)(n-2)……(n-r+1)という結果になります.




【例題 1】
次の値を求めなさい。

  (1) 4P2  (2) 6P1  (3) 7P4




  

  

  




【例題 2】
a,b,c,d,eの5文字のうち

  (1) 3文字を取り出して並べるときの並べ方の総数

  (2) 5文字すべてを使って並べるときの並べ方の総数

  (3) 両端が母音になるような5文字の並べ方の総数




(1) 5文字から3文字を取り出して並べる順列です.

   (通り)



(2) 異なる5文字すべてを使って並べるので5!です.

   (通り)

5文字から5文字を取り出して並べると考えて5P5としてもOKです.



(3) 母音の並べ方は2P2通り.

   a○○○e

   e○○○a

残りの3文字は○○○の所に並べるので3P3通り.

よって,並べ方の総数は,積の法則を使って

   (通り)



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