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組合せ

・組合せの総数 例題1例題2



組合せ
異なるn個のものの中から異なるr個を取り出して作る組合せをn個からr個を取る組合せといい,その総数を nCr で表す.

  

ただし,nC0=1とする.

考え方
例として,異なる4個のものの中から異なる3個を取り出して並べる順列4P3を考えます.下図のように,この順列は「異なる4個のものの中から異なる3個を取り出す」部分と「取り出した異なる3個を並べる」部分に分けることができます.

組合せの考え方
異なる4個のものの中から異なる3個を取り出す組合せの総数は4C3であり,取り出した3個がどれであっても並べ方は3!個あるので

  

が成り立ちます.この式の両辺を3!で割ると

  

となり,組合せの総数を順列と階乗で表すことができました.



nCrについても同様に,異なるn個のものの中から異なるr個を取り出して並べる順列を「異なるn個のものの中から異なるr個を取り出す」部分と「取り出した異なるr個を並べる」部分に分けることで

  

が成り立ち,この式の両辺をr!で割ると

  

となって総数を求めることができます.



【例題 1】
次の値を求めなさい。

  (1) 5C2  (2) 6C1  (3) 8C4




  

  

  

計算は単純ですが次の2点に注意します.

1.約分を行ってから掛け算を実行する.
2.計算の答えは分数にはならない.




【例題 2】

 (1) 正六角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めなさい.

 (2) 正六角形の2つの頂点を結ぶ線分の本数を求めなさい.

 (3) 正六角形の対角線の本数を求めなさい.




(1) 正六角形の6つの頂点から3つを選び直線で結ぶと三角形が1つできます.

正六角形1-1

したがって,三角形の個数は6つの頂点から3つを選ぶ組合せの総数と同じです.

  

三角形の個数は20個



(2) 6つの頂点から2つを選べば,その2点を結ぶ線分が1本できます.

  

線分の本数は15本



(3) (2)より,2つの頂点を結ぶ線分は15本です.15本の線分は正六角形の辺か対角線のどちらかなので,線分の本数から正六角形の辺の本数を引けば対角線の本数を出すことができます.

したがって,対角線の本数は15-6=9(本)



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