反復試行

・反復試行とは
・反復試行の確率 例題1例題2

反復試行とは


1枚のコインを続けて投げる試行のように,独立で同じ試行を繰り返すことを反復試行といいます。



反復試行の確率
1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする。試行をn回繰り返したとき事象Aが“ちょうど”r回起こる確率は

   

考え方
例として,4回中ちょうど2回事象Aが起こる確率を考えてみます。事象Aが起こる確率をpとすると事象Aが起こらない確率は余事象なので1-pです。

反復試行1-1

事象Aが起こった所を○,起こらなかった所を×とします。4回中ちょうど2回事象Aが起こる場合の数は上の表のように6通りですが,これは4回の試行のうち事象Aが起こる(○の出る)場所を2か所選ぶ4C2から来ています。

また,これらは互いに排反であり,それぞれの確率はどれもp2(1-p)2なのですべて加えると

   

これが事象Aが4回中ちょうど2回起こる確率です。



n回中ちょうどr回事象Aが起こる確率も上と同じようにして考えます。

n回中ちょうどr回事象Aが起こる場合の数は,n回の試行のうち事象Aが起こる場所をr個選べばいいのでnCr個です。

また,これらnCr個の事象はどれも互いに排反であり,個々の事象の確率は事象Aが起こる(確率p)のがr回,起こらない(確率1-p)のがn-r回なので pn(1-p)n-r です。よって,求める確率はこれらをすべて加えて

反復試行1-2


【例題 1】
1つのサイコロを続けて3回投げるとき,1の目がちょうど2回出る確率を求めなさい。



1の目が出る確率は1/6なので,公式にn=3,r=2,p=1/6を代入します。

   

  



【例題 2】
1枚のコインを続けて5回投げるとき,表が4回以上出る確率を求めなさい。



5回投げて表が4回以上出るのは,

   (1) 表が4回出る (2) 表が5回出る

場合があり,これらは互いに排反です。よって,(1)と(2)の確率を別々に出して加えれば,表が「4回以上」出る確率を求めることができます。

反復試行q2a1



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