内角の二等分線の性質

・内角の二等分線の性質
例題1
例題2



内角の二等分線の性質
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとする。このとき,

   

が成り立つ。
内角の二等分線の性質


考え方
辺ABの延長線と,Cを通りADに平行な直線との交点をEとします。

内角の二等分線2

ADとECは平行なので∠BAD=∠AEC(同位角),∠DAC=∠ECA(錯角)が成り立ちます。

また,∠BAD=∠CADより∠ACE=∠AECです。よって,△ACEは∠ACE=∠AECの二等辺三角形であるとわかります。したがって,AE=ACです。

一方で,ADとECは平行なので平行線と線分の比からBA:AE=BD:DCです。AE=ACだったのでこの比例式はAB:AC=BD:DCと書き換えることができます。

公式を覚える際の注意
公式は式を丸暗記するのではなく,辺や線分の位置を覚える必要があります。
内角の二等分線の性質3
 二等分した角の左側の辺右側の辺
=二等分線によって分けられた左側の線分右側の線分

のように覚えておくと各頂点の記号が変わっていても間違えません。



【例題 1】
△ABCにおいて,∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。AB=6,AC=8,DC=6のとき,線分BDの長さを求めなさい。
内角の二等分線q1



内角の二等分線の性質より

   

です。AB=6,AC=8,DC=6を代入すると

   

よって

   

これを解くと

   




【例題 2】
△ABCにおいて,∠Bの二等分線と辺ACの交点をDとする。AB=6,AC=10,BC=10のとき,線分ADの長さを求めなさい。
内角の二等分線q2



内角の二等分線の性質より

   

です(∠Bの二等分線であることに注意)。また,DC=AC-AD=10-ADと表せるので,これとAB=6,BC=10を式に代入します。

   

よって

   

ADについて解くと

   



スポンサーリンク

コメント
コメントの投稿
管理者にだけ表示を許可する
スポンサーリンク
最新記事
検索フォーム
ランキング