隣接3項間漸化式(α≠β)

・隣接3項間漸化式
・α,βの見つけ方
例題1(α≠βかつα,β≠1) 

隣接3項間漸化式


隣り合う3つの項の間の関係式を隣接3項間漸化式といいます。隣接3項間漸化式は項をすべて左辺に移項することで次のような形になります。

   

ここで,この漸化式を下の形に変形できたとしましょう。

   

すると,この式を変形して

   

または,

   

という形にすることができます。[3]より,{an+1-αan}は公比βの等比数列であり,[4]より{an+1-βan}は公比αの等比数列なので,それぞれ一般項を求めます。

その後はα,βの値によって解法が少し変わりますがそれほど難しくはありません。


α,βの見つけ方


[1]式の両辺をpで割ると

   

という形になります。この式から[2]式の形にするには

   

となるようにα,βを見つける必要があります。ところで,この関係は[1]式のan+2をx2,an+1をx,anを1とした2次方程式

   

の解をα,βとしたときの解と係数の関係と同じです。よって,[1]式から[2]式の形にする場合は,漸化式を上の方法で2次方程式に直し,その解をα,βとすればよいのです。




【例題 1】
次の条件を満たす数列{an}の一般項を求めなさい。

   




(1) まず,漸化式のan+2をx2,an+1をx,anを1とした2次方程式を作ります。

   

これを解くと,(x-2)(x-3)=0よりx=2,3です。この解をそれぞれα,βとすると,漸化式は

   

の形にできるので,これをさらに変形して

   

   

とすることができます。

[1]から,数列{an+1-2an}は初項a2-2a1=1,公比3の等比数列なので,一般項は

   

同様に,[2]から数列{an+1-3an}は初項a2-3a1=1,公比2の等比数列なので,一般項は

   

[3]-[4]から

   

となり,一般項を求めることができました。



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