絶対値の入った方程式・不等式(場合分け)

・場合分けによる解法(方程式)
・場合分けによる解法(不等式)

場合分けによる解法(方程式)


公式の利用で説明したように,絶対値の外が正の数である場合には簡単な方法で方程式・不等式を解くことができます。

しかし,それ以外の場合には基本的に場合分けの方法を使って解かなければなりません。例えば,次のような方程式の解について考えてみます。

【例題 1】
次の方程式を解きなさい。

   




この方程式は絶対値の中が0以上かで異なる形になります。絶対値の中が0以上(x+3≧0すなわちx≧-3)のとき,絶対値はそのまま外せばいいので

   

となり,これを解いてx=3となります。この解は条件x≧-3を満たしています。

また,絶対値の中が負(x+3<0すなわちx<-3)のとき,マイナスを付けてから外さないといけないので

   

となります。これを解くとx=-1ですが,これは条件x<-3を満たしていないので解とはなりません。

したがって,この方程式の解はx=3だけとなります。



以上から絶対値を含む方程式の解き方をまとめると次のようになります。

STEP 1
絶対値の中が0以上の場合負の場合で場合分けをして方程式を解く

STEP 2
方程式を解いた後,場合分けをしたときの条件を満たしているか確認する。条件を満たしていない場合は解とはならない



場合分けによる解法(不等式)


不等式の場合も,方程式と同じく絶対値の中が0以上の場合負の場合で場合分けをして不等式を解いていきます。

【例題 2】
次の不等式を解きなさい。

   




[1] 絶対値の中が0以上(x+1≧0すなわちx≧-1)のとき,絶対値はそのまま外すので

   

これを解くと,x<1となります。また,場合分けの条件-1≦xを満たしている必要があるので,出てきた解と条件の共通範囲を求めて

   

絶対値を含む不等式1-1
(注) 場合分けの条件-1≦xを満たしていないと,そもそもx+1>2xという不等式が出てこないためx<1という解も出てきません。これが共通部分を求める理由です。



[2] 絶対値の中が負(x+1<0すなわちx<-1)のとき,マイナスを付けてから外すので

   

これを解くとx<-1/3です。また,場合分けの条件x<-1を満たしている必要があるので,出てきた解と条件の共通範囲を求めて

   

絶対値を含む不等式1-2

[1],[2]からそれぞれ解が出てきました。どちらもこの不等式の解なので,これらの解の範囲を合わせて

   

が求める解となります。

絶対値を含む不等式1-3


上の解き方をまとめると次のようになります。

STEP 1
絶対値の中が0以上の場合負の場合で場合分けをして不等式を解く。

STEP 2
不等式を解いた後,不等式の解の範囲と場合分けをしたときの条件の範囲の共通部分を求める。

STEP 3
0以上の場合と負の場合から作った共通部分を合わせた範囲が不等式の解となる。



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