スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

スポンサーリンク

因数定理

因数定理
因数の見つけ方
例題 1(割り切れるか調べる)2(高次式の因数分解)

因数定理


剰余の定理で余りを0とすると次の定理が成り立ちます。

因数定理
因数定理



考え方
P(x) が x-a を因数に持つという言葉の意味は初学者には少しわかりにくいかもしれません。これは

   

のように P(x) が x-a と他の式の積の形で表せるということを言っています。また,P(x) が x-a で割り切れると言い換えてもOKです。こちらの方がおそらく分かり易いでしょう。

因数の見つけ方


因数定理は3次以上の整式を因数分解するときによく使われます。このとき必要になるのはP(α)=0となるαをどうやって見つけるのかということです。実は整式の形によって,αの候補をある程度絞り込むことができます。

因数の見つけ方

考え方
(2)について考えてみます。P(x) を 1次式mx+nで割ったとき,商は2次式になります。これをpx2+qx+rとしましょう。因数定理より,P(-n/m)=0ならば,P(x)はmx+nを因数に持つので

   

という形に表せます。知りたいのはmとnにどういった数字が入るかです。上の式の右辺を展開すると3次の項の係数はmp,定数項はnrです。ここで左辺と右辺の係数を比較してみるとa=mp,d=nrなのでmはa(最高次の係数)の約数,nはd(定数項)の約数となるはずです。
わかりやすいように3次式にしてみましたが,4次以降でも考え方は同じです。

最高次数の項の係数が1の場合,候補は定数項の約数です。また,1以外のときは,(定数項の約数)÷(最高次数の項の係数の約数)となります。

約数には負のものも含まれることに注意してください。



【例題 1】
整式 P(x) が[]内の1次式で割り切れるか調べなさい。

  (1) P(x)=x3+3x2+3x+2  [x+2]

  (2) P(x)=2x4-x+4  [x-1]




方針: 因数定理より,P(a)=0ならばP(x)はx-aで割りきることができます。

 

    よって,P(x)はx+2で割り切ることができる


 

    よって,P(x)はx-1では割り切れない




【例題 2】
次の整式を因数分解しなさい。

  

  

  



方針: 整式をP(x)とおいて因数定理を使い,割り切れる1次式を見つけます。その後,見つけた1次式で整式を割り,商を求めて(1次式)×(商)の形にします。

(1) P(x)=x3+3x2+5x+3 とおくとP(-1)=0なので,整式はx+1で割る切ることができます。P(x)をx+1で割ったときの商はx2+2x+3だから

   


(2) P(x)=x3-6x2+11x-6 とおくとP(1)=0なので,整式はx-1で割る切ることができます。P(x)をx-1で割ったときの商はx2-5x+6だから

   

   

今回のように(1次式)×(商)の形にした後,更に因数分解できる場合もあります。


(3) P(x)=2x3+x2+x-1 とおくとP(1/2)=0なので,整式は2x-1で割る切ることができます。P(x)を2x-1で割ったときの商はx2+x+1だから

   




スポンサーリンク

コメント
コメントの投稿
管理者にだけ表示を許可する
スポンサーリンク
最新記事
検索フォーム
ランキング
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。