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剰余の定理

剰余の定理
例題 1(余りを求める)2(係数の決定)


剰余の定理


整式を1次式で割ったときの余りについて次のことが知られています。

剰余の定理
剰余の定理




(1)の考え方
整式P(x)をx-aで割ったときの商をQ(x),余りをRとしましょう。
このとき,(割られる式)=(割る式)×(商)+(余り)から

   

が成り立ちます。P(x)のxにaを代入して整理すると

   

となって,P(a)が余りとなることがわかります。




(2)の考え方
整式P(x)をax+bで割ったときの商をQ(x),余りをRとしましょう。
(1)と同様に,(割られる式)=(割る式)×(商)+(余り)から式を作ります。

  

この式のxに-b/aを代入して整理すると

  

  

  

剰余の定理 解説2-1




【例題 1】
次の値を求めなさい。

  (1) P(x)=3x2-2x-6 を x-2 で割ったときの余り

  (2) P(x)=2x4-x+4 を x+1 で割ったときの余り

  (3) P(x)=4x3+2x2-6x-7 を 2x+1 で割ったときの余り




(1) 剰余の定理より,余りはP(2)なのでP(x)のxに2を代入します。

  

よって,余りは 2


(2) 剰余の定理より,余りはP(-1)なのでP(x)のxに-1を代入します。

  

よって,余りは 7


(3) 剰余の定理より,余りはP(-1/2)なのでP(x)のxに-1/2を代入します。

  

よって,余りは -4




【例題 2】
次の条件を満たすa,bの値を求めなさい。

 (1) P(x)=x2+ax-8 を x-3 で割ると余りが4となる

 (2) P(x)=x3+ax2+3x-b を x+1で割ると2余り,x+2で割ると-5余る




(1) P(x)を x-3 で割ると余りが4になるので,剰余の定理よりP(3)=4です。よって,

   

   

これを解いて,a=1となります。




(2) まず,P(x)を x+1 で割ると余りが2になるので,剰余の定理よりP(-1)=2です。これより

   

整理して

   

となります。また,P(x)を x+2 で割ると余りが-5になるので,剰余の定理よりP(2)=-5です。よって,

   

整理して

   

[1],[2]を連立させてa,bを求めます。

剰余の定理ex2-2-1

これを解いて,a=1,b=-5




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