1の3乗根

1の3乗根
虚数の解の性質
例題 1(ωを利用した問題)


1の3乗根


最初に,1の3乗根を求めてみます。xを1の3乗根とすると,3乗すれば1に戻るので次の式が成り立ちます。

      

右辺の1を移項し,因数分解を行って式を変形しましょう。

1の3乗根1-1

この式から x-1=0 または x2+x+1=0 であることがわかります。

x-1=0 の解は x=1 です。また, x2+x+1=0 の解は,解の公式より

   

です。以上より,1の3乗根は

   

の3つであることがわかりました。


虚数の解の性質


1の3乗根の中には虚数のものが2つあります。そのうちの1つをωとすると次のことがいえます。

 (1) 1の3乗根は1,ω,ω2

 (2) ω3=1

 (3) ω2+ω+1=0



(1)の考え方

   

とします。このとき

   

となって,ω2はもう1つの虚数の1の3乗根となります。逆に,

   

としましょう。同じように2乗すると

   

となり,結局ωが虚数の1の3乗根ならば,ω2は(もう1つの)虚数の1の3乗根となります。


(2)の考え方
ある数の3乗根とは3乗すると元の数に戻るもののことです。ωは1の3乗根なので3乗すれば1になります。よって, ω3=1 です。


(3)の考え方
ωは x2+x+1=0 から出てきた解なので,この式のxにωを代入しても等式は成り立ちます。よって, ω2+ω+1=0 です。同じ考え方を用いて(2)を出すことができます(ωは x3=1 の解でもある)。




【例題 1】
1の3乗根のうち虚数であるものの1つをωとする。このとき,次の値を求めなさい。

   

   

   




(1) ω3=1, ω2+ω+1=0 の2つの式を利用して値を求めます。

omegaex1-1.png




(2) ωの指数が3より大きいときは ω3=1 を使って指数を下げましょう。

omegaex1-2.png




(3) これまでと同様に,ω3=1, ω2+ω+1=0 を使って進めていきます。

omegaex1-3.png




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