多項式

多項式,整式
例題 1(同類項をまとめる)2(整式の次数,n次式), 3(降べきの順,昇べきの順)

多項式,整式


(1) 多項式
単項式を和でつなげたものを多項式といい,つながっている各単項式をその多項式のといいます。また,単項式と多項式を合わせて整式といいます。

   

上の式は という3つの単項式からできている多項式です。




(2) 同類項
文字の部分が同じ項を同類項といいます。同類項はまとめることができます。
例えば,

   

この多項式では1番目の項と3番目の項の文字が同じなのでこれらは同類項です。同類項をまとめるときは下のように係数部分を足して計算します↓

   

   




(3) 多項式の次数,n次式
多項式の各項の次数の中で,最も大きいものを多項式の次数とします。多項式の次数がnのとき,その多項式をn次式といいます。

   

上の多項式の各項の次数は左から2,4,2,1なので,この多項式の次数は4です。また,次数が4なので4次式であることがわかります。

また,単項式の場合と同様に,多項式でも特定の文字に着目して次数を考えることがあります。多項式の項のうち,着目している文字を含まない項を定数項といいます。

先ほどの式を に着目して考えると,各項の次数は左から1,3,0(定数項),1です。よって, に着目したときこの整式は3次式であるといえます。




(4) 降べきの順,昇べきの順
多項式の項を次数が大きい順に並べることを降べきの順に並べるといいます。また,次数が低い順に並べることを昇べきの順に並べるといいます。

 (降べきの順)   

 (昇べきの順)   




【例題 1】
次の整式の同類項をまとめなさい。

   

   




(1) 文字の部分が同じ項を見つけてまとめます。

   

   




(2) 同類項が無い項はそのままにしておきましょう。

   

   




【例題 2】
次の整式は何次式か答えなさい。また, に着目した場合に何次式になるかも答えなさい。

   

   




(1) 各項の次数を調べ最大の次数を整式の次数とします。

   

各項の次数は左から1,3,2なので整式の次数は3。よって,この整式は3次式です。
また, に着目すると

   

各項の次数は左から1,2,0なので整式の次数は2。よって, に着目したとき,この整式は2次式です。




(2) 同類項がある場合は先にまとめてから考えるとよいでしょう。

   

   

各項の次数は左から2,2,3なので,この整式は3次式です。
また, に着目すると

   

各項の次数は左から1,2,1なので, に着目したときは2次式です。




【例題 3】
次の整式を について降べきの順,昇べきの順にそれぞれ並べ替えなさい。

   

   




(1) に着目したときの各項の次数を調べて,次数の大きい順(降べきの順),次数の小さい順(昇べきの順)にそれぞれ並べ替えます。

  (降べきの順)  

  (昇べきの順)  




(2) 降べきの順と昇べきの順は項の順番が逆になっていることに注意しましょう。

  (降べきの順)  

  (昇べきの順)  




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