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相加平均相乗平均の大小関係

相加平均相乗平均の大小関係(公式)
相加平均,相乗平均の考え方
公式の求め方
例題12

相加平均相乗平均の大小関係
a>0,b>0のとき

   

また,a=bのときに等号が成り立つ。

相加平均,相乗平均の考え方


a,bを正の実数とします。このとき,

   

をa,bの相加平均といいます。
例えば,数学の点数が90点,国語の点数が40点のとき,2つの点数の相加平均は

   

となります。相加平均は中学以前に使っていた平均と同じものです。



一方,2つの数を掛けて平方根を取ったもの

   

をa,bの相乗平均といいます。
先ほどと同じように,数学を90点,国語を40点として相乗平均をとってみます。

   

相加平均よりも小さくなりました。一般に相乗平均は相加平均よりも大きくはなりません(相加平均相乗平均の大小関係)。

公式の求め方


長くなるので別のページで説明します。



【例題 1】
次の不等式を証明しなさい。ただし,a>0,b>0とする。

   

   




解法のポイント
公式は両辺を2倍した形にした方が使いやすい場合が多いです。

   

相加平均・相乗平均の大小関係は

   

のように2つの項を掛けると文字が消えるような式によく使われます。



(1) a>0のとき,3a>0,3/a>0なので,相加平均・相乗平均の大小関係によって

   

等号が成り立つのは

   

のときである。これを変形していくと

   

   

a>0なので

   

したがって,等号が成り立つのはa=1のとき。



(2) 先に左辺を展開します。

   

a>0,b>0のとき,a/b>0,4b/a>0なので,上の式の青字の部分を相加平均・相乗平均の大小関係を使うと

   

よって

   

また,等号が成り立つのは

   

のときである。これを変形すると

   

a>0,b>0なので

   

したがって,等号が成り立つのはa=2bのとき。



【例題 2】
x>0のとき,次の式の最小値を求めなさい。

   




x>0のとき,8x>0,1/2x>0であるから,相加平均・相乗平均の大小関係より

   

この式は4以上であることがわかりました。よって,等号が成立する(式の値が4になる)ときが最小値です。等号が成立するのは

   

のときなので,このときのxを求めます。

   

   

x>0なので,x=1/4です。

以上より,x=1/4のとき,最小値 4となります。



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