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三角関数の導関数(公式の出し方)

準備
導関数の公式

準備


三角関数の極限として次の式が成り立ちます。

   

sinの方は三角関数の極限の項で説明するので,cosの方だけ導出します。



(↓導出)
h>0のとき

   

   
             (↓三角関数の相互関係sin2h+cos2h=1を利用)
   

   

   

   

また,h<0のとき,h=-tとおくと

   

となります。後は同じように変形していけば,やはり0になります。

導関数の公式


・ sinx
導関数の定義より,

   
        (↓sin(x+h)に加法定理を使って変形)
   
        (↓分子のsinxが入っている項を括る)
   

   
        (↓準備を参照) 
    

     



・ cosx
θ+π/2の三角関数より

   

が成り立ちます。これを微分すると,合成関数の微分より

   

   

   
        (↓θ+π/2の三角関数もしくは加法定理)
   



・ tanx
三角関数の相互関係より

   

が成り立ちます。これを微分すると商の微分より

   

   
        (↓sin,cosの微分)
   

   
        (↓三角関数の相互関係sin2x+cos2x=1)
   



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