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2次方程式の判別式と解の個数

判別式と解の個数
判別式とは
例題12

判別式と解の個数
2次方程式 ax2+bx+c=0 の解は,解の公式より

   

となる。このとき,根号の中をDとおき,これを判別式とよぶ。

   



判別式の符号によって,2次方程式の実数解の個数を知ることができる。

   (1) D > 0 ⇔ 異なる2つの実数解を持つ

   (2) D = 0 ⇔ 1つの実数解(重解)を持つ

   (3) D < 0 ⇔ 実数解を持たない



判別式とは


2次方程式 ax2+bx+c=0 の解は,解の公式より

   

となります。このとき,根号の中の式 b2-4ac の符号によって,2次方程式の解が何個あるのか知ることができます



(1) b2-4ac > 0のとき
解は根号の前がプラスのものとマイナスのもの2つが出てきます。

   

(2) b2-4ac = 0のとき
根号の中が0になるので

   

   

と解は1つだけです。また,

   

のように2つ解が重なったと考えて,この解を重解と呼んだりもします。

(3) b2-4ac < 0のとき
根号の中が負になるような数は実数には存在しません。よって,この場合には(実数)解はありません。



以上より,根号の中が正の場合,実数解は2個。0の場合は実数解は1個(重解)。負の場合は実数解が0個(存在しない)となります。

このように b2-4ac の符号によって,解の個数を判別できるのでこれを判別式と呼んでDとおきます。

   



【例題 1】
次の2次方程式の実数解の個数を求めなさい。

   

   

   




x2の係数をa,xの係数をb,定数項をcとして判別式に代入し,判別式の符号を調べます。

(1) a=2,b=-3,c=-5を判別式に代入して符号を調べます。

   

D>0なので,実数解の個数は2個です。



(2) a=-3,b=6,c=-3を判別式に代入して符号を調べます。

   

D=0なので,実数解の個数は1個です。



(3) xの項がありませんが,これは

   

と変形できるのでxの係数は0です。a=1,b=0,c=2を判別式に代入しましょう。

   

D<0より,実数解の個数は0個です。



【例題 2】
次の2次方程式が異なる2つの実数解を持つとき,定数kの値の範囲を求めなさい。

   




a=1,b=-3,c=k+2を判別式に代入します。

   

2次方程式が異なる2つの実数解を持つのはD>0のときなので

   

が成り立ちます。これを解いてkの範囲を求めましょう。

   

   



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