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三角形の面積(三角比の利用)

三角形の面積(三角比を利用した公式)
公式の出し方
例題

三角形の面積(三角比の利用)

三角形の面積1
△ABCの面積Sは次の式で求めることができる(どれを使ってもOK)。

   

   

   


ポイント 公式は求めたい三角形の2辺とその間の角を利用しています。

公式の出し方


計算の仕方だけ知りたい方はここを飛ばして例題に行ってください。

三角形の面積の求め方は小学校,中学校で次のように習いました。

   三角形の面積=(底辺)×(高さ)÷2

今回もこれを利用して公式を導出します。



・鋭角三角形の場合
三角形の面積2

頂点Bから辺ACに向かって垂線を引き,垂線と辺ACとの交点をHとします。
底辺をACとすると高さはBHです。高さを求めるには,三角比の定義から

   

となるので,この式の両辺にcを掛けて

   

となります。三角形の面積の式に底辺b,高さc・sinAを代入すると

   

となって公式と一致します。



・直角三角形の場合
三角形の面積2-2

直角三角形の場合は高さがわかっているので三角比を使う必要はありませんが,先ほどと同様に三角比の定義から高さを求めると

   

となり,底辺b,高さc・sinAを代入するとやはり同じ式がでてきます。



・鈍角三角形の場合
三角形の面積2-3

頂点Bから直線ACに向かって垂線を引き,垂線と直線ACとの交点をHとします。
底辺をACとすると高さはBHです。△ABHに着目して三角比の定義を利用すると

   

となるので両辺にcを掛けて

   

また,sin(180°-A)=sinAなので

   

と高さが出てきます。底辺,高さを三角形の面積の式に代入すると

   

となり,やはり公式と一致しました。



【例題】
次の条件を満たす△ABCの面積を求めなさい。

   

   

   




公式を利用するには三角形の2辺とその間の角(のsinの値)を知る必要があります。

(1) 2辺とその間の角がわかっているので,そのまま公式(1)に代入します。

   



(2) 2辺a,bは与えられていますが,それらの間の角である角Cの大きさがわかっていません。
三角形の内角の和は180°なので角Cの大きさは

   

公式(3)にa,b,Cの値を代入して面積を求めましょう。

   



(3) 角の大きさがわからないので,余弦定理からcos Aを求めます(cos B,cos Cでも可)。余弦定理より

   

これにa=3,b=5,c=6を代入して

   

ここから

   

となり,cos Aを求めることができました。公式に必要なのはsin Aなので,三角比の相互関係を利用してcos Aをsin Aに直しましょう。三角比の相互関係より

   

よって

   

Aは三角形の内角だから,0° <A<180°です。このとき,sin A>0なので

   

後は公式に代入して面積を求めます。

   



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