Σを使った公式

和の公式
例題

和の公式


前回,Σ記号の考え方を説明しましたが,代入する数が大きくなると和を計算するのが難しくなります。例えば,次のような式を計算してみると

   

   


   


kに1から100まで代入して和でつなぎましたが,ここから計算して和を求めるのは数が大きいと大変です。このような計算を行うときは以下の公式を使います。

和の公式

   

   

      
             ↑ (1)を2乗した形

    

    

(4),(5) c,r は定数


導出するのが困難なものも多いので公式の形を覚えておいた方がいいでしょう。

(5)は教科書に公式として載っていることはまずありませんが,よく使うので一応載せておきました。形でわかると思いますが,これは等比数列の和の公式です。

ただ,「公式として提示したものとは違った形で出てくること」が多いので,公式を覚えるよりもΣのない形に直してからどういった数列なのか考えた方がいいかもしれません(↓詳しくは例題(3)を見てください)。



【例題】
次の和を求めなさい。

   




(1) 公式(2)のnの所を100に変えます。

   



(2) 公式はすべてk=1からスタートしています。この問題はk=4となっているのでこのままでは公式が使えません。公式を使うには次のように形を変えてやります。

   

求めたいのはk=4から10までの和なので,1から10までの和から1から3までの和を引いてやります。後は別々に公式を適用しましょう。

   

   

   

   



(3) kが指数部分に入っている場合は等比数列ではないか考えましょう。まず,Σの入っていない形に直します。

   

ここから初項6,公比3の等比数列の和であるとわかります。また,k=1から7までなので項数は7です。等比数列の和の公式より,

   

となります。このように等比数列の場合は初項,公比,項数を出して和の公式を適用するのが無難です。



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